Capitolo quarto - La matematica della nuova era
Scheda ••▶ (testo)
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◀•• 4. La matematica della nuova era [pp. 83-102]
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TERMINI-CHIAVE
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• alfabeto (?)
• algoritmo (algoritmicamente comprimibile)
• aritmetica
• assioma (assiomi)
• assiomatico (sistemi assiomatici)
• caos (teoria del caos)
• caotico (sistemi caotici)
• casuale (sequenza ‹casuale›)
• casualità
• categoria (categorie di pensiero)
• complessità (‹complessità› di una sequenza)
• computazionale (paradigma computazionale)
• computer
• continuità (continuità del substrato - spazio e tempo)
• continuum
• costruttivista (visione costruttivista)
• diofanteo (problema diofanteo)
• discontinuo (Universo discontinuo)
• gravità (legge di gravità)
• indecidibile (proposizioni indecidibili)
• indecidibilità
• informatico (industria informatica)
• informazione
• intelligibilità (‹intelligibilità del mondo›)
• invariante (invarianti)
• matematica
• mente (mente umana)
• microcircuiti
• Natura
• paradigma (paradigma dominante)
• particella (fisica delle particelle)
• platonico (visione platonica della realtà matematica)
• rivoluzione (rivoluzione tecnologica)
• scienza
• selezione (selezione naturale)
• sequenza (sequenza di numeri o simboli)
• simmetria (simmetrie)
• sperimentale (matematica sperimentale)
• Teoria del Tutto
• Universo (immagini dell’Universo)
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STUDIOSI OPERE E PERSONAGGI
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• Chaitin (Gregory Chaitin)
• Diofanto (Diofanto d’Alessandria)
• Gödel
• Kuhn (paradigma)
• Newton
• Occam (Guglielmo di Occam, rasoio di Occam; anche Ockhamª)
• Pandora (vaso di Pandora)
• Turing (macchina di Turing)
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(ª) nome o dettaglio non esplicitamente contenuto nel testo.
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ESTRATTI
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Il computer ci invita ad astrarre la sua essenza; una volta spogliato dei suoi componenti di base e dei suoi programmi specifici, non è altro che una macchina di Turing, vale a dire un elaboratore di informazioni: una serie di correlazioni tra stringhe finite di numeri interi. Potremmo prendere questa immagine con un pizzico di buonsenso alla Kuhn e considerarla come la più recente di un’infinita sequenza di mode che vengono scartate nel momento in cui si verifica la rivoluzione tecnologica successiva. Pur essendo consapevoli di questa possibilità, supponiamo comunque che il calcolo elettronico non abbia un valore effimero. Potremmo allora chiederci se sia più essenziale vedere l’evoluzione e la struttura dell’Universo come calcolo o come conseguenza delle leggi di Natura. Oppure, fondendo i due concetti, chiederci se dovremmo intendere queste ultime come una specie di programma che sta elaborando il contenuto materiale del nostro Universo. Mentre l’immagine delle leggi della natura come simmetrie e invarianti, tanto amata dai fisici, si fonde in maniera naturale con la visione platonica della realtà matematica, l’immagine computazionale sembra avvicinarsi naturalmente alla più limitata visione costruttivista.
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La scienza esiste perché il mondo naturale sembra algoritmicamente comprimibile. Le formule matematiche che noi chiamiamo leggi di Natura sono riduzioni economiche di enormi sequenze di dati sui cambiamenti degli stati del mondo: ecco cosa intendiamo con ‹intelligibilità del mondo›. Possiamo anche concepire un mondo i cui fenomeni siano tutti caotici e casuali (esattamente come alcuni di essi già ci appaiono); in tal caso le sue proprietà potrebbero essere descritte soltanto facendo una lista di innumerevoli sequenze di fenomeni osservati nel tempo. Fare scienza diventerebbe un po’ come avvistare treni, e i fenomeni osservati possederebbero l’unicità che ritroviamo nel mondo dell’arte e della creatività. Se l’Universo è un’entità unica e necessaria, forse non saremmo sorpresi di scoprire che nel complesso si tratta di un’entità che non è algoritmicamente comprimibile, che non è possibile concentrare in una formula abbreviata, ma può essere solo definita dalla descrizione completa di una sequenza di eventi. La ricerca di una Teoria del Tutto è l’espressione estrema della nostra fede nella riducibilità (compressione) algoritmica della Natura.
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Vediamo la scienza come tentativo di ridurre algoritmicamente il mondo dell’esperienza, e la ricerca di un’unica Teoria del Tutto in grado di render conto di tutti i fenomeni come l’ultima espressione della profonda convinzione di alcuni scienziati che la struttura dell’Universo, nel suo complesso, possa essere algoritmicamente ridotta. Ma riconosciamo che la mente umana gioca un ruolo non irrilevante in questa valutazione. Inestricabilmente legata all’apparente riducibilità algoritmica del mondo è la capacità della mente umana di operare riduzioni. Il continuo processo di selezione naturale ha, almeno in parte, affinato le nostre menti e le ha portate all’attuale stato evolutivo. La sensibilità della mente umana nei confronti dell’ambiente e la sua capacità di sopravvivenza è ovviamente collegata alla sua abilità nell’operare riduzioni algoritmiche. Più un organismo è capace di immagazzinare e codificare la propria esperienza del mondo naturale, più è in grado di combattere i pericoli che l’ambiente che altrimenti sarebbe imprevedibile presenta. Nella fase più recente della storia dell’uomo come ‹homo sapiens› questa abilità ha raggiunto nuovi livelli di sofisticazione. Siamo ormai capaci di pensare all’atto stesso del pensare. Invece di apprendere semplicemente dall’esperienza, come è sempre avvenuto nel processo evolutivo, abbiamo la capacità mentale di simulare o immaginare i possibili risultati delle nostre azioni. Con questo sistema la nostra mente simula l’esperienza passata all’interno di nuove situazioni. Ma per fare questo correttamente è necessario che il cervello sia finemente calibrato: è ovvio che la capacità mentale deve essere superiore a un certo livello per poter generare un’efficace riduzione algoritmica e i nostri sensi devono essere ricettori abbastanza sensibili da raccogliere una quantità significativa di informazioni dall’ambiente, ma intuiamo facilmente perché non siamo diventati troppo bravi in questo. Se infatti i nostri sensi fossero così affinati da raccogliere tutte le informazioni possibili dalle cose che vediamo o sentiamo — tutte le minuzie dell’ordinamento atomico — la nostra mente sarebbe sovraccarica di informazioni. L’elaborazione sarebbe più lenta, i tempi di reazione più lunghi, e sarebbe necessaria tutta una serie di circuiti aggiuntivi per vagliare le informazioni e distribuirle a vari livelli di intensità e profondità.
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Il fatto che la nostra mente accetti di avere dei limiti nel raccogliere informazioni e nello sviluppare le sue capacità di elaborazione significa che il cervello effettuerebbe una riduzione algoritmica sull’Universo anche se questo non fosse intrinsecamente comprimibile. In pratica il cervello fa questa operazione per troncamento. Senza alcun aiuto, i nostri sensi sono soltanto capaci di assorbire al massimo una certa quantità di informazioni sul mondo, fino ad un certo livello di risoluzione e di sensibilità. Anche quando utilizziamo sensori artificiali come i telescopi e i microscopi per ampliare il raggio delle nostre facoltà, questa estensione presenta sempre dei limiti fondamentali. Spesso questo processo di troncamento viene formalizzato e diventa una branca della scienza applicata. Un buon esempio a tale riguardo è la statistica. Quando studiamo un fenomeno ampio o molto complicato, a volte tentiamo di ridurre algoritmicamente le informazioni che abbiamo a disposizione utilizzando una campionatura selettiva. Coloro che sono incaricati di fare un sondaggio per sapere che cosa voterà il pubblico alle elezioni, dovrebbero in teoria chiedere a ogni singolo abitante del paese per chi voterà. In pratica lo chiedono ad una sezione rappresentativa della popolazione e invariabilmente ottengono una previsione sorprendentemente buona dei risultati completi delle elezioni.
Dato che il mondo fisico è algoritmicamente comprimibile, la matematica è utile per descriverlo: è infatti il linguaggio dell’abbreviazione delle sequenze. La mente umana ci permette di entrare in contatto con quel mondo perché il cervello possiede l’abilità di comprimere sequenze complesse di dati sensoriali in una forma più breve. Queste abbreviazioni fanno sì che esistano il pensiero e la memoria. I limiti naturali di sensibilità che la Natura impone ai nostri organi sensori ci impediscono di sovraccaricarci di informazioni sul mondo. Questi limiti funzionano come valvole di sicurezza per la mente. Tuttavia dobbiamo ancora tutto alla notevole capacità del cervello di sfruttare la riducibilità algoritmica del mondo. E la cosa più sorprendente è che il cervello è uno stato più complesso ed evoluto di quello stesso mondo la cui complessità cerca di comprimere, anche se non conosce ancora bene la propria, di complessità.
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Il nostro discorso sulla matematica e sul mondo si è legato sempre più strettamente al paradigma computazionale. Lo sviluppo dell’industria informatica e l’ampia disponibilità di computer da tavolo, piccoli e poco costosi con grandi capacità di rappresentazione grafica, hanno svolto chiaramente un ruolo fondamentale nel creare l’immagine che oggi abbiamo del mondo nel suo complesso, ma hanno anche ampliato la gamma di problemi che siamo in grado di affrontare. Per quasi mille anni gli scienziati hanno usato la matematica in maniera molto efficace per studiare un particolare sottoinsieme delle proprietà dell’Universo: le regolarità e le uniformità della Natura, poiché per queste sono sufficienti descrizioni matematiche molto semplici, equazioni risolvibili pensando e usando carta e matita. Questa preferenza per gli aspetti simmetrici e prevedibili del mondo permea i nostri programmi educativi nell’ambito delle scienze matematiche. Vengono mostrati agli studenti i problemi lineari della fisica, le equazioni risolvibili della matematica, e ben presto si fanno l’idea che tutte le equazioni hanno una soluzione. Questo è ben lungi dall’essere vero. Mentre le leggi di Natura che abbiamo scoperto sono per molti aspetti veramente semplici, e si basano sulla conservazione di qualche simmetria profonda, in generale non è detto che tutti gli esiti delle leggi di Natura mostrino quelle stesse simmetrie. Ciò rende possibile il fatto che un mondo evidentemente complesso come il nostro sia governato in tutti i suoi diversi aspetti da un numero limitato di leggi semplici e simmetriche. Immaginiamo di provare a lasciare da sola una matita in equilibrio sulla punta. Le ‹leggi› che governano il movimento nell’Universo non favoriscono alcuna particolare direzione (in questo senso sono perfettamente simmetriche) ma, una volta lasciata andare o toccata, la matita cadrà sempre in ‹una qualche› direzione: così realizzando un fenomeno che rispetta la legge di gravità la sua simmetria intrinseca si spezza. E questo spezzarsi della simmetria è responsabile della complessità del mondo che ci circonda.
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ANNOTAZIONI E SPUNTI
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COMMENTO – Le immagini dell’universo che gli esseri umani si sono fatti nelle varie epoche sono state il riflesso dei paradigmi tecnico-scientifici allora dominanti; così alle antiche immagini dell’universo organismo e di quello geometrico statico succedettero, ai tempi di Newton quella dell’orologio, e durante la rivoluzione industriale quella della macchina a vapore; oggi è invece l’immagine del computer a dominare la nostra vita quotidiana. Dall’universo macchina con le sue simmetrie e le sue grandezze conservate si è così passati a quello che, come un immenso programma, elabora quantità gigantesche di informazione.
Barrow introduce i concetti di “comprimibilità algoritmica” e di “complessità” per spiegare come la nostra mente riesca a comprendere, cioè a farsi un’immagine prevedibile del mondo che ci circonda (ma anche delle sue regioni più lontane da noi); con “nostra mente” però non è chiaro se si riferisca solo agli umani, a tutti gli organismi viventi, o agli umani come punta di diamante dell’evoluzione, sotto la spinta della selezione naturale. I paradossi logici tradotti da Gödel in teoremi possono essere riformulati in termini di “complessità”, “comprimibilità” e “incomprimibilità”, o di “casualità”; l’americano Chaitin ha impiegato questi concetti nello studio delle equazioni diofantee (da Diofanto d’Alessandria) per giungere alla conclusione che esistono problemi aritmetici relativamente semplici ma non computabili – tali cioè che nessuna macchina di Turing possa trovare la soluzione in un tempo finito – e Barrow si chiede se non potremmo essere nelle stesse condizioni quando cerchiamo una singola teoria, la Teoria del Tutto, che possa spiegare struttura ed evoluzione dell’intero universo.
La nostra grande capacità di “compressione algoritmica” del mondo potrebbe dipendere dalla complessità del nostro cervello (che però non è ancora riuscito a “comprimere” se stesso), ma potrebbe anche essere dovuta alla limitatezza dei nostri sensi, pur affinati da tutta la selezione naturale che ci ha preceduti, in quanto le varie immagini “compresse” che si sono succedute nella Storia potrebbero non essere che successive approssimazioni di un Universo intrinsecamente “incomprimibile” e pertanto incomprensibile. Una possibile frontiera in questa direzione è la “teoria del caos”, molte aree della quale possono essere esplorate soltanto mediante simulazioni al computer, applicando una sorta di “matematica sperimentale” che potrebbe urtare la sensibilità di qualche matematico tradizionale. A differenza dei paradigmi che lo hanno preceduto, il “paradigma computazionale” che si è affermato negli ultimi decenni si basa su una concezione essenzialmente discontinua del substrato fisico (spazio e tempo) della realtà e, contrariamente a quanto potrebbe sembrare, questa discontinuità apre le porte a complessità elaborative infinitamente maggiori di quelle concepibili in una visione continua della realtà fisica.
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•[ivi]• «[…] l’Universo è un’entità […] che […] può essere solo definita dalla descrizione completa di una sequenza di eventi»: peccato però che una descrizione completa di eventi che copra l’intero Universo non è possibile perché dovrebbe descrivere anche se stessa, ricorsivamente, all’infinito…
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NOTA: il discorso però sembra viziato da una confusione; una cosa è la comprimibilità esatta, matematica, e un’altra è la comprimibilità, necessariamente approssimata, della fisica (nonché della vita quotidiana); per cui posso rappresentare una serie assolutamente incomprimibile con una comprimibile se ammetto un margine d’errore, e la comprimibilità sarà tanto maggiore quanto maggiore sarà l’errore tollerato.
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•[ivi]• «[…] questo spezzarsi della simmetria è responsabile della complessità del mondo che ci circonda»: e non tanto perché le matite continuino a cadere in direzioni apparentemente casuali, creando un evidente disordine, quanto perché il meccanismo della “rottura di simmetria” sarebbe responsabile della differenziazione tra le forze fondamentali della natura, e persino, tramite il campo di Higgs (quello del famoso bosone), delle masse delle diverse particelle che compongono la materia di cui siamo fatti.
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[] John D. Barrow (1992), ‹Perché il mondo è matematico?›, Laterza 1992.
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